Đại số tuyến tính Ví dụ

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} y \\ x \end{array}]$

Bước 1

Phép biến đổi xác định một ánh xạ từ $ℝ^{2}$ tới $ℝ^{2}$ . Để chứng minh phép biến đổi này là tuyến tính, nó phải bảo toàn được phép nhân vô hướng, phép cộng, và vectơ không.

M: $ℝ^{2} \to ℝ^{2}$

Bước 2

Đầu tiên ta chứng minh phép biến đổi vẫn bảo toàn được tính chất này.

$M (x + y) = M (x) + M (y)$

Bước 3

Lập hai ma trận để kiểm tra tính chất cộng có được bảo toàn cho $M$ .

$M ([\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \end{array}] + [\begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \end{array}])$

Bước 4

Cộng hai ma trận.

$M [\begin{array}{c} x_{1} + y_{1} \\ x_{2} + y_{2} \end{array}]$

Bước 5

Áp dụng phép biến đổi cho vectơ.

$M (x + y) = [\begin{array}{c} x_{2} + y_{2} \\ x_{1} + y_{1} \end{array}]$

Bước 6

Chia kết quả thành hai ma trận bằng cách nhóm các biến.

$M (x + y) = [\begin{array}{c} x_{2} \\ x_{1} \end{array}] + [\begin{array}{c} y_{2} \\ y_{1} \end{array}]$

Bước 7

Tính chất cộng của phép biến đổi thỏa mãn.

$M (x + y) = M (x) + M (y)$

Bước 8

Để phép biến đổi là tuyến tính, nó phải bảo toàn tính chất phép nhân vô hướng.

$M (p x) = T (p [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}])$

Bước 9

Phân tích $p$ thành thừa số từ mỗi phần tử.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Nhân $p$ với mỗi phần tử trong ma trận.

$M (p x) = M ([\begin{array}{c} p x \\ p y \end{array}])$

Bước 9.2

Áp dụng phép biến đổi cho vectơ.

Bước 9.3

Sắp xếp lại $p y$ .

$M (p x) = [\begin{array}{c} p y \end{array}]$

Bước 9.4

Phân tích phần tử $0, 0$ thành thừa số bằng cách nhân với $p y$ .

$M (p x) = [\begin{array}{c} p (y) \end{array}]$

Bước 10

Tính chất thứ hai của các phép biến đổi tuyến tính được bảo toàn trong phép biến đổi này.

$M (p [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}]) = p M (x)$

Bước 11

Để phép biến đổi là tuyến tính, vectơ 0 phải được bảo toàn.

$M (0) = 0$

Bước 12

Áp dụng phép biến đổi cho vectơ.

$M (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}]$

Bước 13

Rút gọn từng phần tử trong ma trận.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Sắp xếp lại $0$ .

$M (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}]$

Bước 13.2

Sắp xếp lại $0$ .

$M (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}]$

Bước 14

Vectơ không được bảo toàn bởi phép biến đổi.

$M (0) = 0$

Bước 15

Vì cả ba tính chất của phép biến đổi tuyến tính đều không được đáp ứng, đây không phải là phép biến đổi tuyến tính.

Phép biến đổi tuyến tính